Le miroir souverain

Georg Cantor (1845-1918) fut l'un de ces mathématiciens géniaux qui achevèrent leur vie dans une clinique psychiatrique. Il est le créateur de la théorie des ensembles et des nombres transfinis.

Cantor prouva en particulier que l'ensemble des nombres irrationnels est plus grand que celui des entiers naturels ou que celui des rationnels (fractions).

La démonstration est simple quoique très ingénieuse.

Imaginons les nombres irrationnels inscrits sur une colonne unique :

0,176432496...
0,984190345...
0,610938004...
0,546201937...

etc.

On apparie ensuite chaque nombre irrationnel à un nombre entier :

1 0,176432496...
2 0,984190345...
3 0,610938004...
4 0,546201937...

etc.

Un tel appariement est-il possible ?
Non, il ne l'est pas.
En effet, il existe toujours un nombre irrationnel qui ne fait pas partie de cette liste infinie.

1 0,176432496...
2 0,984190345...
3 0,61938004...
4 0,54621937...

etc.

Prenons la première décimale du premier nombre irrationnel suivie de la deuxième du deuxième nombre irrationnel etc. On obtient en l'espèce le nombre 0,1802... On ajoute arbitrairement 1 à chacune des décimales pour construire le nombre dit "diagonal", ici : 0,2913...

C'est le coup de génie de la démonstration.

En effet, ce nombre diagonal n'est pas sur la liste puisqu'il diffère du premier par la première décimale, du deuxième par la deuxième, etc.
Il s'agit donc d'un nombre irrationnel différent de chaque irrationnel apparié avec un entier.
Il ne sert à rien d'ajouter ce nombre ainsi construit à la liste et de l'apparier avec un autre entier puisqu'on pourra à chaque fois, en réitérant l'opération, construire un tel nombre diagonal.

Il est ainsi démontré qu'il existe plus de nombres irrationnels que de nombres entiers.

Si l'on disposait de l'infinité du temps, il serait possible de compter un à un les nombres entiers. Ceci se dit : l'ensemble des entiers naturels est dénombrable.

En revanche, ce titanesque comptage serait impossible à réaliser avec les irrationnels puisqu'il y en a toujours plus que d'entiers, c'est-à-dire toujours plus qu'on en peut compter.

L'ensemble des entiers naturels et celui des irrationnels sont infinis, mais d'une infinitude différente. Les irrationnels sont, au sens propre, innombrables ; ce qui est, à la lettre, inimaginable.