Le miroir souverain

La reductio ad absurdum est un mode de démonstration classique, déjà présent dans les Eléments d'Euclide.

Il consiste en ceci : si l'on veut prouver la fausseté d'une proposition, on montre que la supposer vraie entraîne contradiction. Ce qui peut s'écrire : non(non(P)) => P.

Néanmoins, ce raisonnement implique l'équivalence entre nier deux fois et affirmer. Outre l'opposition des nietzschéens, ce mode de pensée rencontre également celle des disciples de Kronecker, Poincaré, Brouwer et Heyting, c'est-à-dire celle des intuitionnistes. Pour eux, un théorème d'existence doit être démontré par une construction explicite, ce que le raisonnement par l'absurde ne fait pas. La disjonction entre "vrai" et "démontrable", chère aux platoniciens, est balayée.

Ainsi, l'une des conséquences marquantes de cette doctrine est-elle la remise en cause du principe du tiers-exclu qui, pour Aristote, découlait naturellement de celui de non contradiction. Le principe du tiers-exclu édicte en effet que si une proposition P n'est pas vraie, elle est fausse et inversement : tertium non datur.

Y aurait-il alors une troisième valeur de vérité, quelque chose qui ne serait ni vrai ni faux ? Oui, il existe l'indécidable et l'intuitionniste refuse l'axiome du choix, non constructif.