Le miroir souverain

Tout ce que l'on pouvait subsumer sous une propriété, Frege croyait pouvoir en faire un ensemble. Mais Russell démontra qu'à toute formule ne correspond pas l'ensemble des termes pour lesquels celle-ci est vraie ou démontrable.

Russell considère en effet cette propriété : "un ensemble qui n'est pas élément de lui-même". Ceci est banal ; par exemple, l'ensemble des nombres entiers n'est pas un nombre entier.

Soit P l'ensemble de tous les x tels que x n'est pas élément de lui-même.

1. Si P se contient lui-même comme élément, alors il possède la propriété qui définit ses éléments, c'est-à-dire qu'il ne contient pas lui-même comme élément.

2. Si P ne se contient pas lui-même comme élément, alors il possède la propriété qui définit ses éléments, donc il est élément de lui-même.

Ainsi obtient-on l'équivalence entre un énoncé et sa négation, ce qui est absurde ; les principes logiques sont manifestement violés.

L'ensemble P excède le langage, il est d'une certaine manière "trop grand" pour lui. N'a-t-on affaire ici qu'à une inconsistance logique ? Ou n'est-ce pas plutôt le signe de l'absolu ? Cantor, pour sa part, le croyait. Il voyait dans ce caractère intotalisable, dans cette impossibilité à concevoir sans contradiction des ensembles tels que P la manifestation non du transfini mais de l'absolument infini. Selon Cantor, là est le lieu même de Dieu.