Le miroir souverain

« Nulle différence entre l'être et le non-être, si on les appréhende avec une égale intensité. » (Cioran, De l'inconvénient d'être né)

« C’est pour un état-civil. » (Modiano, Livret de famille)

« J'ai dit l'égalité. Je n'ai pas dit l'identité. » (Hugo, Quatrevingt-treize)

 

 

Pour définir un ensemble, il est possible de procéder de deux manières différentes. Soit l’on énonce ex abrupto le réquisit auquel un λ doit satisfaire pour être élément de x, soit l’on choisit d’opter pour l’énumération intégrale des éléments de x. La première définition est alors dite « en intension », tandis que la seconde sera qualifiée de définition « en extension ».

 

Soient l’ensemble x dont les éléments sont a, b et c, et y le singleton possédant b pour unique élément, ainsi que z auquel n’appartient que deux éléments, a et c. Définissons ensuite l’ensemble t en intension : t = {d / d∈x & d∈y}. L’ensemble t est donc l’ensemble des d ayant pour propriété d’être à la fois élément de x et élément de y. En extension, il appert après examen que l’ensemble t doit s’écrire ainsi : t = {b}.

 

On subodore alors finement qu’une relation toute particulière unit t et y, puisque ne l’oublions pas, y = {b}. Pourtant, en intension, ce dernier ensemble pourrait se définir ainsi : y = {e / e∈x & ¬ (e∈z)}. Prima facie, à lire les définitions en intension de t et de y, il ne saute pas nécessairement aux yeux qu’ils partagent en réalité la même définition en extension. En effet, du point de vue intensionnel, l'ensemble y peut s’écrire « l’ensemble des e tels que e appartient à x et e n’appartient pas à z », tandis que t, on l’a vu, a été intensionnellement défini comme « l’ensemble des d ayant pour propriété d’être à la fois élément de x et élément de y ».

 

Manifestement, règne dans le cas de l'intension une potentielle variété d'écriture que, via le nu défilé élémentaire, l'extension dissipe avantageusement. Il est d'ailleurs à noter qu'à toute intension ne correspond pas obligatoirement une extension, même vide, comme Russell le montra à Frege.

 

Comment dès lors, en théorie des ensembles, exprimer l’égalité entre deux ensembles, et donc ici entre y={b} et t={b} ? Tout simplement à partir de leur extension. Il suffira en fait de dire que ces deux ensembles ont les mêmes éléments. Deux ensembles pourront donc être définis « différemment » en intension, leur extension semblable les rendra égaux, et, partant, aucune de leurs propriétés ne sera à même de les distinguer. Fort conséquemment, on nomme l’axiome idoine « axiome d’extensionnalité ».

 

Il devient alors aisé de formaliser l’égalité entre deux ensembles n et p. D’abord, il est nécessaire que pour tout m, si m∈n, alors m∈p. Mais ce n’est pas suffisant, puisque l’on a alors seulement n⊂p, et pas encore n=p. Il faut donc aussi que pour tout m, si m∈p, alors m∈n, i.e. p⊂n. Si deux ensembles sont inclus l’un dans l’autre, alors ils sont égaux. Ce qui peut donc s’écrire formellement comme suit : (n⊂p) & (p⊂n) ↝ n=p.

 

Plus généralement, il faut reconnaître d'après ce qui précède qu’est égal ce qui n’est pas différent. Oui, « c'est égal » et « c'est indifférent » reviennent au même. L’égalité est donc finalement une relation d’indifférence, une relation symétrique qui connecte deux ensembles indifférents, substituables l’un à l’autre salva veritate. En vertu de ce fameux dictum selon lequel « τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα », un troisième ensemble égal au deuxième sera en effet par transitivité égal au premier, si ce dernier est égal au deuxième. Leur nomination peut diverger, c'est toutefois l’égalité formulée qui avère la mêmeté de l'unique entité qu'ils « sont », bref qui constitue une identité. Subséquemment, on pourra être tenté de charger le principe, non pas éponyme, mais homonyme, flanqué de celui de contradiction, de définir ipso facto ce qui n’est pas pseudonyme de l’entité index sui, entité réflexive dont le principe leibnizien des indiscernables garantit l’ipséité.