Le miroir souverain

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« Un n'est pas égal à un virgule cinq »  (Skoteinos) 

Soucieux de symétrie, interrogeons-nous tout de go sur une possibilité laissée provisoirement de côté par notre précédente note. En effet, il est loisible de considérer que ce cas de figure mérite d'être traité spécifiquement.

Rappelons que l’on sait maintenant qu'il est faux que pour tout x, si x ⊂ y, alors x ∈ y. De plus, l’on connaît désormais l’existence d’ensembles tels que si x ∈ y, alors x ⊂ y. Et finalement, une réponse fut donnée à la question de savoir ce que pouvait être un x qui n'est pas élément d'un ensemble y, tout en étant pourtant inclus dans y.

Sans coup férir, le spéculateur de passage doit alors se demander : Qu'est-ce qu'un x qui est élément de y, mais qui n'est pas inclus dans y ?

Procédons, certes sans hâte, mais d'un bon pas, et examinons d'abord le cas où, à la fois, x ∈ y et x ⊂ y. Développons donc cette dernière expression, puisque, on l'a vu, c'est à partir de l'appartenance que se définit l'inclusion. Ainsi, x ⊂ y signifie-t-il que pour tout z, si z est élément de x, alors z est aussi élément de y.

Pour ce qui nous occupe, quel sens donner alors à un ensemble x tel que x ∈ y mais ¬ (x ⊂ y) ? On déduit immédiatement de la définition de l'inclusion que, x n'étant pas inclus dans y, l’on peut donc trouver au moins un z élément de x qui n'appartienne pas à y, et ce alors même que x ∈ y.

Parmi ses éléments, y compte bien x ; il existe cependant au moins un z ∈ x qui, en quelque manière, « échappe » à l'ensemble y. On a donc (z ∈ x) et (x ∈ y) mais pourtant ¬ (z ∈ y). Bref, si x est bel et bien élément de l’ensemble y, x ne fait toutefois pas partie de y, et ce en raison de l'existence d'au moins un z appartenant à x sans appartenir à y.

Et par conséquent, nous répondrons sans ambages que, cet x, on peut à bon droit le nommer une singularité.