Le miroir souverain

« La doctrine du mathème, pour nouvelle qu'elle soit, se révèle alors reposer sur une caractéristique commune à l'ensemble des emprunts, nombreux et variés, que Lacan fait aux lettres mathématiques. Lacan retient dans ces lettres ce qu'elles articulent de suspensif, c'est-à-dire d'impossible : l'infini comme inaccessible, la théorie du nombre comme traversée de la faille incessante du zéro, la topologie comme théorie d'un "n'espace", arrachant la géométrie à toute esthétique transcendantale.

En sommant ces emprunts et en les réduisant à leur caractère commun, on obtient la définition de la mathématique comme science du réel, en tant que le réel dénomme la fonction de l'impossible (S. XX, p. 118). Bien évidemment, le théorème de Gödel sera souvent cité à cet égard, mais on remarquera que Lacan n'en fait pas un usage original. Il se borne à y rapporter ce que tout honnête homme y lit : la démonstration rigoureuse qu'il existe des propositions indécidables en arithmétique. Sensiblement plus structurale, la référence à l'intuitionnisme. Dans la nécessité de n'admettre en mathématique que ce qui se laisse intuitionner comme produit d'une construction positive, Lacan retient moins la doctrine de l'intuition que le rejet de toute démonstration apagogique. L'enjeu est de taille, puisque les philosophes de la mathématique, et notamment le plus récent d'entre eux, ont pu soutenir que la légitimité du raisonnement apagogique touchait à l'essence de la déduction mathématique elle-même. Mais le rejet de Lacan s'explique aisément : l'apagogique repose crucialement sur l'enchaînement des raisons, or un tel enchaînement est le propre de l'imaginaire.

La mathématique disjointe de la déduction et de l'apagogique, réduite à ses seules lettres, voilà ce qui fonctionne de fait dans les références dispersées et multiples à la mathématique ; voilà ce que le mathème donne à lire de manière entièrement explicite ; voilà de plus ce qui semble bien constituer, aux yeux de Lacan, la pertinence de la mathématique à l'égard de la science moderne.» (Milner, L'oeuvre claire)