06/06/2008
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« Par la vitre du wagon, on songe aussi, pris dans le champ d'un périscope, au camp d'atterrissage des géants martiens à tripodes de Wells. » (Gracq, Liberté grande)
La théorie des ensembles (e.g. le système Zermelo-Fraenkel, ZF en abrégé) ne fait pas de distinction entre élément et ensemble. Il n'y a que du multiple, et seul le signe d'appartenance (∈) construit l’unité. On y chercherait vainement les définitions d'élément, d'ensemble ou d’appartenance. Oui, ce sont les axiomes (les décisions) qui s'entredéfinissent, dans leur jeu réglé réciproque. Le réquisit, bien entendu, est que l’axiomatique se doit d’être non contradictoire. Aussi, le seul « terme primitif », est-ce finalement l’appartenance.
Ainsi, x ∈ y signifie-t-il que x est élément de y. De ceci, il convient de distinguer x ⊂ y, id est x est inclus dans y, qui signifie que pour tout z, si z est élément de x, alors z est élément de y. A première vue, l’on pourrait se demander : « Diantre ! Mais quelle différence entre ces deux notions ? » Attention, répondrais-je, ne pas confondre appartenance et inclusion est absolument crucial.
Mais introduisons d’abord l'axiome dit de « l'ensemble des sous-ensembles ». Selon cet axiome, si l’on a x, alors il existe un ensemble de tous les sous-ensembles (ou parties) de x. Cet ensemble, noté p(x), est différent de x lui-même. Il existe en effet un hiatus entre x (unité des éléments) et p(x) (unité des sous-ensembles). L'unité des éléments de x, c'est x lui-même, tandis que l'ensemble de tous les sous-ensembles de x, n'est pas x, mais p(x), qui en diffère.
Dans les deux cas, pourtant, l’on opère sur les mêmes multiples. Ceux-ci, néanmoins, sont comptés de manière différente par l'appartenance et l'inclusion. Et il appert en effet que p(x) est « plus grand » que x. Démontrons-le.
Soient un ensemble x et les y tels que y ∈ x et ¬ (y ∈ y). Soit z l'ensemble de ces y qui appartiennent à x et n'appartiennent pas à y. En vertu de l'axiome de séparation, puisque x est posé comme existant, z existe aussi. Or on a : z est inclus dans x, car z appartient à l'ensemble des sous-ensembles de x, i.e. z ∈ p(x). Cependant, z n'appartient pas à x lui-même. Pourquoi ?
Raisonnons de manière apagogique, et posons z ∈ x. Si ¬ (z ∈ z), i.e si z appartient au sous-ensemble des y tels que ¬ (y ∈ y) et y ∈ x, alors, selon la définition même de z, on a z ∈ z. Si z ∈ z, alors z est élément du sous-ensemble des y tels que ¬ (y ∈ y) et y ∈ x, par conséquent on a ¬ (z ∈ z). Bref, voilà une contradiction manifeste. L'assomption doit donc être rejetée. Ainsi : ¬ (z ∈ x).
Qu’est-ce à dire ? Tout bonnement qu’il existe toujours un élément (ici z) de p(x) qui n'appartient pas à x. Manifestement, p(x) est « plus grand » que x. Quod erat demonstrandum.
On peut donc affirmer avec vérité que si x est bel et bien l'unité de ses éléments, x n'est pas l'ensemble de ses sous-ensembles. Ainsi, l’idée naïve selon laquelle si y est inclus dans x, alors il appartient à x est-elle absolument fausse. Non, appartenance et inclusion ne sont pas superposables. Et oui, si un ensemble est l’ensemble de ses éléments, il n’est pas le tout de ses sous-ensembles.
Examinons maintenant le cas de l’ensemble vide, noté Ø. L’ensemble vide est l’ensemble sans élément, l’ensemble auquel rien n’appartient. Puisqu’il n’a pas d’élément, tous ses éléments sont éléments de tout ensemble. Il est donc universellement inclus. Et en particulier, tout élément de Ø est élément de Ø. Donc Ø est inclus dans Ø. C’est-à-dire qu’il possède au moins un sous-ensemble, qui n’est autre que Ø. Comme n'importe quel autre ensemble, il est donc sous-ensemble de lui-même (sous-ensemble nommé « maximal »), et, bien sûr, ne s’appartient pas. Toutefois, nul besoin, pour lui, de recourir à l’axiome de fondation et de rejeter l’auto-appartenance, puisque s’il s’appartenait, il aurait en effet un élément, hypothèse contradictoire avec le fait que, par définition, il n’en possède aucun.
On a établi plus haut la fausseté de l’énoncé selon lequel, pour tout x, si x ⊂ y, alors x ∈ y. Mais qu’en est-il de la réciproque, à savoir : pour tout x, si x ∈ y, alors x ⊂ y ? Notons que celle-ci est au moins vraie pour l’ensemble qui a Ø pour seul élément, Ø étant aussi l’un de ses sous-ensembles en raison du caractère universellement inclus de Ø. Plus généralement, un ensemble y dont les x sont tels que si x ∈ y, alors x ⊂ y est d’ailleurs appelé « ensemble transitif ». Ce type d'ensemble forme quant à lui la litanie des hiérarchies naturelles.
Pour conclure abruptement, lançons cette question, potentiellement lancinante. Que peut bien être un x qui n’est pas élément d’un ensemble donné mais qui s’y trouve inclus ? La réponse, à la fois rapide et évidente, mais néanmoins profonde pour qui sait lire, possède le charme discret de l’axiomatique : c'est un x, mais un x tel que, bien entendu, ¬ (x ∈ x).
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Commentaires
Comme quoi il y aurait à penser outre "l'ensemble est plus grand que la somme de toutes ses parties" ? Aïe, il y a longtemps que je ne me suis frottée à la théorie des ensembles et cette note-ci est exigeante en exercice, mais pour moi qui pratique souvent la tangente vis-à-vis de mes lectures, par ex. (tangentes qui me font parfois errer, parfois pas, mais qu'il me faut bien emprunter pour le savoir), je me demande si je suis dans le champ ...d'à côté si je tente d'appliquer votre propos en disant que certaines tangentes que j'utilise (ou qui s'imposent, m'enfin je n'asticoterai pas sur ce motif) feraient figure d'éléments qui auraient pu, au premier abord, sembler appartenir à y parce que paraissant appartenir à x, mais qu'en fait leurs présences chez l'un et chez l'autre ne leur est pas exclusive mais pas absolument inappropriée non plus ?
Si toutefois ma question devait trahir des notions trop floues ou par trop égarées quant à votre sujet, ne craignez pas de me le faire savoir, ma propension aux jongleries en a vu d'autres. et je ne suis pas à un échec près dans mes essais à la transposition...
Écrit par : igneus | 08/06/2008
Si je ne m'abuse, vous paraissez en fait invoquer la notion (dérivée) d'intersection plutôt que celle d'inclusion (elle-même dérivée de celle d'appartenance).
Par définition, l'intersection m (et elle seule) des ensembles n et p est composée de tous les éléments qui appartiennent à la fois à n et à p. Cet ensemble m est à la fois une partie (i.e. un sous-ensemble, i.e. est inclus dans) de n et une partie de p, puisque, par construction, tout élément i de m est élément de n, et élément de p.
Ajoutons que m peut être l'ensemble vide, il s'agira alors d'une disjonction. De même, à m peut n'appartenir qu'un unique élément i ; on pourra alors, si l'on veut, parler de tangence. Dans ce cas, c'est, pour ainsi dire, à un singleton commun que l'on a affaire.
J'en finis là, en espérant toutefois ne pas avoir méconnu le sens de votre question. Peut-être celle, différente, que j'étudierai brièvement lors du deuxième épisode (à venir) vous intéressera-t-elle également.
Écrit par : Anaximandrake | 08/06/2008
Ces notions-là ont été apprises il y a bien longtemps et étaient demeurées mathématiques pratiquement hors d'usage hormis leurs empreintes et leurs reproductions en d'autres champs mais non identifiées toujours comme telles (pour ainsi dire rarement). C'est dire que les savoirs nous étaient enseignés isolément, ce qui continue de poser un os encore aujourd'hui. Cela pour vous remercier, c'est plus qu'une révision que vous avez permis, c'est une réappropriation de termes (avec un minimum de répétition de lecture de votre note de ma part) mais dans une vision élargie. Au prochain épisode, donc !
Écrit par : igneus | 08/06/2008
"l'intersection m ... peut être l'ensemble vide, il s'agira alors d'une disjonction"
La disjonction (inclusive), en théorie ensembliste, est synonyme d'union. Si l'intersection est vide, c'est que la différence symétrique coïncide avec l'union.
L'intersection ne peut coïncider avec la disjonction que si les deux ensembles étaient identiques.
Écrit par : Scythe | 09/06/2008
Scythe, il est vrai que la formulation adéquate est en fait plutôt : "m peut être l'ensemble vide, les ensembles n et p seront alors disjoints". Par "disjonction", je signifiais simplement "le fait d'être disjoints" pour n et p, non pas la disjonction inclusive ensembliste en tant que telle, qui, quant à elle, correspond bien entendu à l'union. Toutefois, cette homonymie pouvant dans ce cadre être source de confusion, je vous remercie de votre intervention.
Écrit par : Anaximandrake | 09/06/2008
Il semble y avoir des domaines amusants où éléments et sous-ensembles ne sont pas facilement distinguables : en effet coeur et foie allant semble-t-il toujours de pair, on pourrait dire que le coeur-foie est bien un élément du corps humain (bien que transplantables séparément), tandis qu'il n'en va pas de même pour oeil-droit-oeil-gauche qui en est un sous-ensemble.
En musique maintenant, on pourrait oser dire que tout segment d'une mélodie en est un élément et un sous-ensemble, alors que tout sous-ensemble d'une mélodie n'en est pas forcément un élément.
Ou encore, on peut se demander si tout sous-ensemble de trois éléments distincts d'un accord (à n notes distinctes; n=>3) sont à la fois élément et sous-ensemble, ou si l'on réserve le terme d'« élément » aux seules notes prises individuellement, ne les empêchant pas du coup d'être également des sous-ensembles (singletons).
Enfin, il semblerait que le fait d'être élément d'un ensemble reconnu soit communément plus réifiant (ou réifié) que d'en être sous-ensemble, ainsi l'individu humain parmi les hommes par opposition aux couples, même amoureux. Héraclite ne serait sans doute pas d'accord...
Écrit par : Niklaus Vonderflu | 09/06/2008
Déterminer avec précision ce qui élément ou sous-ensemble en musique est en effet une question fort intéressante et qui mériterait d'être creusée.
Écrit par : Anaximandrake | 09/06/2008
"cette homonymie ... source de confusion"
C'est la polysémie qui nous égare, cher Anaximandrake.
Au même titre, deux conjoints couleraient une conjonction pleine et entière, même si aucun élément vital ne leur était plus commun et l'intersection de leurs appétits n'était que béance ...
L'homonymie est plus discriminante ; il faut s'en inspirer, ne serait-ce que par astuces orthographiques : parler de "différAnce productrice" (Derrida) ou de "pensers nouveaux" (A.Chénier) ...
Écrit par : Scythe | 10/06/2008
Insistons, cher Scythe. Dans ce contexte plutôt mathématique, et en l'absence d'autres précisions, on dira que c'est l'homonymie qui peut être source de confusion. En effet, compte tenu de l'univocité statutaire des signes/mots des mathématiques, il faut dire que "disjonction" et "disjonction" sont des signes/mots différents dont le signifiant est le même. La polysémie de "disjonction" (non mathématique) piège potentiellement la phrase, peut nous égarer, mais c'est bien plutôt l'homonymie entre "disjonction" et "disjonction" (mathématique) qui est réellement source de la confusion éventuelle.
Car si on lisait "disjonction" comme "disjonction" au sens mathématique, la phrase serait alors un contre sens, pas un faux sens. Ce dernier est lié à la polysémie, et il pourrait y aurait donc faux sens si, par exemple, dans l'énoncé "entre ces deux causes, il y a disjonction" l'on prenait "disjonction" pour "disjonction" mathématique.
Par conséquent, à la base de la possible confusion, il y a l'homonymie, l'ambiguïté étant principiellement bannie des mathématiques ; si "disjonction" peut avoir plusieurs significations, "disjonction" (mathématique) n'en a qu'une et une seule. En effet, si "disjonction" (mathématique) n'avait pas d'homonyme dans le lexique courant, il n'y aurait aucune confusion possible.
Bref, c'est la polysémie de "disjonction" qui, en général, peut faire confondre "disjonction" avec "disjonction" (mathématique) mais l'homonymie entre "disjonction" (mathématique) et "disjonction" qui, dans un contexte apparemment mathématique, est source de confusion.
Par ailleurs, je me demande si c'est vraiment l'homonymie qui distingue entre les célèbres exemples que vous invoquez, et non plutôt l'homophonie sans homographie, qui est l'une des formes possibles de l'homonymie, mais donc pas l'homonymie vraie (comme, par exemple, entre "couvent" et "couvent" que seul le contexte peut éventuellement permettre de discriminer). Corollaire : le néologisme est-il un remède au barbarisme ?
Finalement, même s'il semble que nous soyons passés des fourmis aux mouches, il paraît clair que le contexte est chose ambiguë, et que tout ceci dépend probablement du type de "confusion" auquel on se réfère.
Écrit par : Anaximandrake | 10/06/2008
Je vous paraîtrai mesquin, cher Anaximandrake, mais tous les emplois de "(con-)dis-jonction" relèvent de la polysémie et non pas de l'homonymie. Pour une raison formelle toute simple : l'étymologie en est identique.
Écrit par : Scythe | 10/06/2008
Je dois être pour ma part moins mesquin que vous semblez le croire, cher Scythe. En effet, à relire, vous verrez que je stigmatise davantage la phrase en question, et décide de me plier au contexte, la considérant donc comme un contre sens, puisque l'ambiguïté, par inattention, était bien réelle.
D'autre part, à des fins "constructives" (bla bla), je vous accordais l'emploi général (mais contestable) que vous faisiez d'homonymie, puisque vous parliez d'homonymie entre "différence" et "différance" (ou "pensée" et "penser").
Ainsi, annuliez-vous toutefois par avance votre argument étymologique postérieur d'obédience linguistique quant à mon propre emploi du terme homonymie. Car l'étymologie des termes mis par vous en rapport est incontestablement semblable.
Ce que je discutais, pour ma part, c'était le fait de parler de l'homonymie tout court en tant que discrimination dans les exemples que vous invoquiez. D'où ensuite ma question sur le néologisme et le barbarisme, dont les limites sont peu claires voire "indécidables" (bla bla) en l'absence de choix philosophiques déterminés. Etc.
Je ne me prononcerai donc pas sur votre éventuelle mesquinerie, mais je dirai que vous êtes ici, comme on l'a vu, incohérent, et ce que la linguistique (si d'ailleurs elle existe en tant qu'unitaire) soit légitime ou non à légiférer absolument sur le sens d'homonymie.
Cordialement,
Écrit par : Anaximandrake | 10/06/2008
"différence" et "différance" (ou "pensée" et "penser") ... "l'étymologie est semblable"
Le renvoi à l'étymologie est ici sans objet : ces mots n'étant pas homographes, la polysémie est exclue. En revanche, l'homonymie (homophonie, pour être plus précis) est évidente.
Au terme d'homonymie, je ne connais pas de sens non-linguistique. Je me plie à la définition commune qui me paraît tout à fait satisfaisante.
Quant à la différence entre néologisme et barbarisme, elle se trouve sur le plan de la conscience : on est conscient d'introduire un néologisme, on commet un barbarisme sans se douter de sa faute.
Écrit par : Scythe | 10/06/2008
Je suis heureux d'élargir votre plan de conscience en vous apprenant que la définition commune n'est pas celle de la linguistique. Vous pouvez aisément vérifier. Car compte tenu de l'étymologie grecque, le sens courant de "homonymie" est (grosso modo) : "qui porte le même nom, qui emploie la même dénomination". Et, à partir de là, les significations en sont variées. Idem, respectivement, pour "polysémie", qui signifie alors couramment "qui a plusieurs sens".
Il se trouve donc que "homonymie" est polysémique, et que c'est finalement, non la polysémie de "disjonction", mais celle de "homonymie" qui vous égare, tandis que l'homonymie de "disjonction" pouvait être source de confusion. Car, contrairement à l'occurrence de "disjonction" en contexte mathématique, il n'y a aucune raison, a priori, de conférer directement à "homonymie" le sens donné par la vulgate linguistique, et encore moins celui que lui attribue(raie)nt ses écoles particulières.
Ensuite, je vois avec joie que vous en venez à me rejoindre sur le fait que, contrairement à ce que sembliez dire d'abord, il vaut mieux employer "homophonie" que "homonymie" tout court concernant l'exemple de "différence"/"différance" et "pensée"/"penser", donc si l'on entre dans le détail du lexique de la linguistique. "Homonymie", au lieu d'"homophonie", ainsi employé par vous dans un but discriminant, s'avérait bien potentiellement trompeur et donc insuffisant.
Quant au problème du barbarisme, l'on voit bien qu'appliquer ce terme à une occurrence d'un terme donné est, du moins aux frontières, quelque peu arbitraire. Le plan de la conscience n'est a priori pas objectif. Celui qui lit "différance" dans un texte abstrus en étant inaverti de Derrida ou qui, conscient lui aussi, considère que ce qui est signifié sous ce vocable ne mérite pas un néologisme, mais doit plutôt trouver sa place sous celui de "différence" n'est pas a priori dans l'erreur en parlant de barbarisme plutôt que de néologisme. Je maintiens donc que ces deux termes ne sont ne sont pas intrinsèquement "décidables" (bla bla).
En fait, et plus généralement, ce qui semble bien différencier les mathématiques des autres instances de légitimation (voire d'autorité), c'est leur sécession et autonomie radicales vis-à-vis de l'évolution contingente de la langue naturelle. Par principe, la "disjonction" mathématique est indifférente à "disjonction", dont, mathématiquement, toutes les autres significations sont des contre sens. C'est donc plutôt, on l'a vu, "disjonction" qui intègre, pour son compte, le sens mathématique, mais sans produire, pour sa part, aucun effet sur lui.
C'est pourquoi, finalement, la question cruciale me paraît être celle, immense et récemment entraperçue ici via Gödel, des relations entre langage et mathématiques.
Écrit par : Anaximandrake | 10/06/2008
Cher Anaximandrake, j'aime votre vision de LA (je n'y emploie jamais le pluriel) mathématique comme d'une espèce de seule ontologie échappant au verbalisme. Sur ce chemin, connu de Pythagore à Badiou, je vous suis.
Je profite, mesquinement, de votre évocation de Gödel, pour citer mes propos à son sujet :
"Comment on échappe à l’ennui mécanique des oui-non : par l’absurde (syntaxique ou sémantique), par l’indécidable (Gödel !), par le paradoxal (méta-connaissances). Toutes les trois échappatoires ne sont que langagières, accessibles seulement aux maîtres des meilleurs langages."
"Justification gödelienne des élucubrations poétiques : dans un langage clos, le vrai est plus vaste que le démontrable. Et le vrai n’est qu’une plate projection langagière du beau, haut et indicible."
De grand coeur ...
Écrit par : Scythe | 11/06/2008
Je serais moi aussi tenté de préférer le syntagme "la mathématique" à celui de "les mathématiques", mais ce choix impliquerait, je pense, de désigner univoquement ce qui fait leur unité.
On pourrait dire que c'est le caractère intégralement transmissible de ce qui s'y écrit. Mais l'on pourrait par exemple objecter que tous les mathématiciens n'acceptent pas le même type de démonstrations. Ce qui serait prédominant pour conduire à adopter le singulier plutôt que le pluriel est finalement discutable.
Toutefois, l'élection d'une ontologie, requiert, quant à elle, un "saut" purement philosophique, évaluable par des conséquences qui ne sont bien sûr pas exclusivement langagières ou mathématiques.
Notons que le choix effectué par Badiou est fortement orienté par son usage du couple constructible/générique, et la distinction subséquente entre véridicité et vérité. De plus, chez lui, ce qui se laisse dire de l'être se dit mathématiquement, mais, pour autant, toutes les vérités ne sont pas mathématiques.
Dire que mathématique = ontologie (thèse, donc, non pythagoricienne), comme le fait Badiou, délivre certes du paradigme linguistique majoritairement soutenu par ce courant dit "philosophie analytique", mais pose finalement aussi de nombreux problèmes ; par exemple celui de l'interprétation de l'histoire et du développement de la mathématique (ou des mathématiques), ainsi que celui du statut spécifique de la théorie des ensembles. Le modèle mathématique a bien une autorité limitée hors de son champ propre.
Mesquinement ? Merci, cher Scythe, de nous faire généreusement part de votre intéressante littérature engagée.
Écrit par : Anaximandrake | 11/06/2008
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