Le miroir souverain

Version freako-nippone du « Parce que c'était lui, parce que c'était moi » !

En revanche, je crois pouvoir enfin infirmer la proposition « Un n'est pas égal à un virgule cinq » :
http://www.offrande-rugby.com/gabaritxxl/index.php?2007/06/25/17-olivier-merle

Écrit par : sk‡ns | 10/06/2008

Certes. Pour lui, l est précédé d'un nombre impressionnant de x.

Écrit par : Anaximandrake | 10/06/2008

Soit x={a;b} et y={{a;b};a} et y'={{a;b};a;b}

Pourquoi x est il plus singulier en tant qu'élément de y qu'en tant qu'élément de y'?
Est-ce parce qu' x ressemble plus à y' qu'à y ?
N'est-on singulier que par rapport à quelque chose d'autre dont on est élément ?
Ou est-ce parmi les éléments que que l'on se singularise ? Si e={c;d} et qu'on l'ajoute à y, lequel de x ou de e est le plus singulier ?

Supposons que je sois le dernier homme. Serais-je singulier par ce fait même (je suis le seul à être le dernier) ou au contraire cette propriété ne s'appliquerait-elle plus, faute de comparaison? Ou bien faut il penser que dernier homme ou pas, je suis singulier, parce que mes éléments ne sont pas éléments de l'ensemble de tous les hommes? Par exemple, j'ai un cœur, alors que l'ensemble de tous les hommes n'en a pas ?

Est-on donc singulier tout court, dans une espèce, ou par rapport à une espèce. Vous semblez nous inviter à penser qu'il existe en tous les cas du singulier en ce dernier sens.
Mais peut-être faut-il satisfaire aux deux derniers sens pour prétendre à la singularité?

Ainsi si y={{a;g};{b;c};{d;e;f};{g;h};a;b;d;e;f}, lequel des éléments de y est singulier ou le plus singulier ?
Est-ce {d;e;f}, parce qu'il est le seul ensemble à trois élément ? Ou est-ce {g,h} encore plus que {b;c}, par ce qu'aucun de ses éléments n'est élément de y ? Ou alors, le fait que {g;h} partage un élément commun avec {a;g} péjore-t-il son grade ?

Écrit par : Niklaus Vonderflu | 10/06/2008

On peut parler d'une singularité x par rapport à un ensemble y lorsque l'ensemble y n'est pas bien défini dans le cas x. Disons que x est singulier quand x ∈ y mais que ¬ (x ⊂ y).

Ainsi, selon vos définitions, puisque x ∈ y mais ¬ (x ⊂ y), x est-il singulier par rapport à y. En revanche, x n'est pas singulier par rapport à y' puisque x ∈ y et (x ⊂ y).

La singularité de x est relative à un ensemble donné. Car si vous présentez un autre ensemble z auquel x appartient et dans lequel x est inclus, x n'est pas singulier par rapport à z.

Si y''= {{a;b};a;{c;d}} alors x={a;b} et e={c;d} sont tous deux singuliers relativement à y''. Mais x n'est pas singulier par rapport à e puisque ¬ (x ∈ e). Et respectivement pour e par rapport à x. Soit un ensemble x est singulier par rapport à tel autre y, soit il ne l'est pas. Il peut bien sûr être singulier par rapport à un ensemble z. Mais la singularité, en ce sens, n'admet pas de degré, et x n'est pas moins singulier que e par rapport à y''. Appartenant à y'', soit l'on y est inclus, soit on ne l'est pas en étant alors singulier par rapport à lui.

Imaginons ensuite un ensemble r présentant trois singularités i, j et k, et un autre r' qui n'en présenterait qu'une notée l. Pourrait-on dire que i, par exemple, est moins singulier que l puisque r présente plus de singularités que r'? Je ne le pense pas, puisque ce n'est que par rapport à r que l'on asserte ici la singularité de i, pas par rapport à j, k ou l. Que les singularités d'un ensemble soient plus nombreuses que dans autre n'enlèvent rien à leur singularité.

Venons-en à votre hypothèse du dernier homme. Etant le seul homme vivant, vous seriez bien unique en ce sens, mais pas forcément singulier. Tous dépend de ce que vous comptez parmi vos éléments et parmi ceux de l'ensemble par rapport auquel vous seriez singulier ou non. Cette hypothèse du dernier homme peut d'ailleurs donner lieu à diverses interprétations, contradictoires entre elles. Il conviendrait donc d'en déterminer la sémantique.

Pour finir, disons bien que l'illustration de cette note n'est qu'une suggestion, par nature plurivoque. Je vous laisse donc le soin de proposer, si vous le voulez, une interprétation précise qu'elle vous inspire, en respectant la clause selon laquelle pour la singularité x de l'ensemble y, celui-ci n'est pas bien défini, i.e. x ∈ y mais ¬ (x ⊂ y).

Écrit par : Anaximandrake | 10/06/2008

Je prends donc acte du fait que vous désirez définir la singularité comme étant une relation entre un ensemble et un autre ensemble dont le premier est élément.

Ainsi, vous posez x est singulier par rapport à y (x est une singularité de y) si et seulement si x est élément de y, mais x n'est pas inclus dans y.

J'ai aussi compris qu'en suivant strictement cette définition, il n'était pas possible de hiérarchiser les singularités au sein d'un même ensemble et qu'il n'y avait aucun sens à comparer la singularité d'éléments d'ensembles différents, comme vous l'avez bien expliqué.

Nous pourrions toutefois imaginer ici des exemples amusants tels que :

y={{a};{{a}}} avec x={a} et x'={{a}} de sorte que x est x' sont des singularités de y et x également une singularité de x'; ce qui ouvrirait peut-être la voie à une définition d'une relation d'ordre sur les singularités au sein d'un ensemble :

x est plus singulier que x' par rapport à y ssi x et x' sont des singularités de y et x est une singularité de x'

cette relation est en effet antiréflexive et pourrait être transitive dans des ensembles comme celui-ci :

y'={{a};{{a}};{{{a}};{a}}}

Ainsi, cette relation « est plus singulier que» pourrait ordonner certains sous-ensembles de singularités d'ensembles, mais pas tous les sous-ensembles, ce qui témoigne de sa faiblesse.

Mais ce faisant, je ne sais pas encore quelle intuition on suivrait.

Mais c'est justement l'intuition de votre définition que je cherchais à saisir. Car si l'on entend communément par singulier, un élément rare ou étrange, qui seul dans son espèce présente tel ou tel caractère, je ne vois pas ce qu'un ensemble singulier en votre sens à de plus singulier qu'un ensemble qui serait à la fois élément et inclus dans un ensemble, sinon comme je le disais au début de mon précédent commentaire au sujet de x,y et y' que certains éléments "ressemblent " moins que d'autres à l'ensemble dont ils sont des éléments.

Ce qui me semble essentiel dans la notion de singularité, c'est à la fois l'unicité et l'individualité avec sa forte connotation d'indivisibilité au sein de l'espèce observée. Ainsi, un homme particulier est indivisible au sein de l'espèce humaine et il est unique rien que par sa position (et bien d'autres choses sans doute), ce qui le rend singulier.

Ainsi, mon exemple du dernier homme est bien singulier en votre sens, puisqu'aucun de ses éléments (le coeur par exemple) ne peut être qualifié d'homme, mais colle bien également à l'idée d'étrangeté ou de rareté évoquée par l'acception que je crois usuelle de la notion de singularité, alors que votre définition y colle me semble-t-il moins bien. Voilà pour l'inconvénient.

Un des mérites de votre définition me semble être de permettre une comparaison entre certaines singularités d'un ensemble, tel que j'ai essayé de le faire ici, sans pourtant y trouver pour l'instant d'autres applications que celles effectuées sur des suites quasi insignifiantes de symboles.

Il conviendrait sans doute de chercher du côté des mathématiques qui identifient les singularités avec des valeurs ou des points où certains objets sont mal définis, comme les asymptotes pour les fonctions. On colle ici assez bien avec cette intuition qu'un homme est un lieu étrange de l'espace-temps.

Peut-être le fait qu'il soit difficile de savoir ce qui est partie ou seulement sous-ensemble pour des objets physiques ou mentaux est-il un indice qu'il y a bien quelque chose d'ensembliste dans la notion de singularité. J'essayerais pour ma part de traduire un énoncé comme : « f(x)=1/x admet une singularité en x=0» en langage ensembliste, pour y voir plus clair.

Merci de votre généreuse réponse et du temps que vous prenez à comprendre ce que nous tentons avec peine de formuler clairement et distinctement.

Écrit par : Niklaus Vonderflu | 11/06/2008

Vous pourriez être intéressé par l'interprétation de Badiou, qui me semble éclairante pour ce qui nous occupe. Pour celui-ci, l'appartenance correspondrait à la "présentation", et l'inclusion à la "représentation".

Il prend l'exemple d'une famille ayant un membre clandestin. Ce dernier est "présenté" par la famille, mais pour autant, il n'est pas "représenté" dans l'état-civil. Ce membre clandestin, qui est présenté sans être représenté, peut alors être désigné comme singularité. Car le sans-papiers est élément de la famille, mais il ne fait pas partie de l'état-civil, bien que la famille ait un livret. La notion de degré et de comparaison entre les singularités paraît alors étrange ; deux clandestins sont sous ce chef tous les deux singuliers, ni plus ni moins.

A partir de cet exemple de Badiou, imaginons ensuite pour notre propre compte qu'un autre membre déclaré à l'état-civil soit borgne, et que sa carte d'identité l'indique en tant que signe particulier. Dans ce cas, l'on pourrait dire que cet autre membre est particulier. Ainsi, pourrait-on affirmer que la particularité est susceptible de degrés (e.g. par rapport au nombre de signes), et ce, contrairement à la singularité.

L'emploi des termes "singularité" et "particularité" me semble ici approprié si l'on veut conserver une certaine analogie avec leur sens mathématique. Bref, le point est qu'avec appartenance et inclusion, l'on a affaire à deux "comptes" différents.

Si vous désirez proposer d'autres exemples d'interprétation, ou critiquer celui proposé ci-dessus, vous êtes le bienvenu.

Écrit par : Anaximandrake | 11/06/2008

« Il faut s’entraider, c’est la loi de la Nature. » Jean de la Fontaine

« Je n'ai jamais eu de chagrin qu'une heure de « Bateau-livre »
n'ait dissipé. » Anonyme.


« Il était un petit navire qui avait déjà, ja, ja navigué

Mais comme les grands

N’aiment pas les enfants

Et ne savent pas lire, alors ils l’ont coulé… »


Reçu hier cette lettre de Frédéric Ferney animateur du « Bateau–Livre » Sur France 5.

Je vous laisse juge de réagir et surtout de soutenir cette JUSTE cause....

N'hésitez pas à laisser vos commentaires et vos messages de soutien que nous ferons parvenir à Frédéric FERNEY.

Une émission littéraire qui disparaît, contrairement au train, n'en cache pas forcément une autre.

Alors restons vigilants et continuons de soutenir ceux qui donnent envie de lire ailleurs que sur les autoroutes culturelles...

MERCI DE RELAYER L’INFORMATION ET DE LAISSER UN MESSAGE SUR CE BLOG :

http://blog.france3.fr/cabinet-de-curiosites

Votre dévoué,

Eric Poindron

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Paris, le 4 juin 2008

Monsieur le Président et cher Nicolas Sarkozy,

La direction de France-Télévisions vient de m’annoncer que « Le Bateau-Livre », l’émission littéraire que j’anime sur France 5 depuis février 1996, est supprimée de la grille de rentrée. Aucune explication ne m’a encore été donnée.

Si j’ose vous écrire, c’est que l’enjeu de cette décision dépasse mon cas personnel. C’est aussi par fidélité à la mémoire d’un ami commun : Jean-Michel Gaillard, qui a été pour moi jusqu’à sa mort un proche conseiller et qui a été aussi le vôtre.

Jean-Michel, qui a entre autres dirigé Antenne 2, était un homme courageux et lucide. Il pensait que le service public faisait fausse route en imitant les modèles de la télévision commerciale et en voulant rivaliser avec eux. Il aimait à citer cette prédiction : « Ils vendront jusqu’à la corde qui servira à les pendre » et s’amusait qu’elle soit si actuelle, étant de Karl Marx. Nous avions en tous cas la même conviction : si l’audience est un résultat, ce n’est pas un objectif. Pas le seul en tous cas, pas à n’importe quel prix. Pas plus que le succès d’un écrivain ne se limite au nombre de livres vendus, ni celui d’un chef d’état aux sondages qui lui sont favorables.

La culture qui, en France, forme un lien plus solide que la race ou la religion, est en crise. Le service public doit répondre à cette crise qui menace la démocratie. C’est pourquoi, moi qui n’ai pas voté pour vous, j’ai aimé votre discours radical sur la nécessaire redéfinition des missions du service public, lors de l’installation de la « Commission Copé ».
Avec Jean-Michel Gaillard, nous pensions qu’une émission littéraire ne doit pas être un numéro de cirque : il faut à la fois respecter les auteurs et plaire au public ; il faut informer et instruire, transmettre des plaisirs et des valeurs, sans exclure personne, notamment les plus jeunes. Je le pense toujours. Si la télévision s’adresse à tout le monde, pourquoi faudrait-il renoncer à cette exigence et abandonner les téléspectateurs les plus ardents parce qu’ils sont minoritaires? Mon ambition : faire découvrir de nouveaux auteurs en leur donnant la parole. Notre combat, car c’en est un : ne pas céder à la facilité du divertissement pur et du ''people''. (Un écrivain ne se réduit pas à son personnage). Eviter la parodie et le style guignol qui prolifèrent. Donner l’envie de lire, car rien n’est plus utile à l’accomplissement de l’individu et du citoyen.

Certains m’accusent d’être trop élitaire. J’assume : « Elitaire pour tous ». Une valeur, ce n’est pas ce qui est ; c’est ce qui doit être. Cela signifie qu’on est prêt à se battre pour la défendre sans être sûr de gagner : seul le combat existe. La télévision publique est-elle encore le lieu de ce combat ? Y a-t-il encore une place pour la littérature à l’antenne ? Ou bien sommes-nous condamnés à ces émissions dites « culturelles » où le livre n’est qu’un prétexte et un alibi ? C’est la question qui est posée aujourd’hui et que je vous pose, Monsieur le Président.

Beaucoup de gens pensent que ce combat est désespéré. Peut-être. Ce n’est pas une raison pour ne pas le mener avec courage jusqu’au bout, à rebours de la mode du temps et sans céder à la dictature de l’audimat. Est-ce encore possible sur France-Télévisions ?

En espérant que j’aurai réussi à vous alerter sur une question qui encore une fois excède largement celle de mon avenir personnel, et en sachant que nous sommes à la veille de grands bouleversements, je vous prie de recevoir, Monsieur le Président, l’assurance de mon profond respect.

Frédéric Ferney


P.S. « Le Bateau-Livre » réunit environ 180 000 fidèles qui sont devant leur poste le dimanche matin à 8h45 ( ! ) sur France 5, sans compter les audiences du câble, de l’ADSL et de la TNT ( le jeudi soir) ni celles des rediffusions sur TV5. C’est aussi l’une des émissions les moins chères du PAF.


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Écrit par : Eric Poindron | 12/06/2008

Merci pour cet exemple éclairant.

Cette dichotomie appartenance-présentation/ inclusion-représentation est très parlante et nous emmène sur un terrain ma foi très bureaucratique.

Il faut toutefois clarifier certains aspects de la structure proposée afin de pouvoir produire d'autres exemples.

Si on garde la terminologie qui veut que y={x,a,b} et x={z,a,b} où z est la singularité, l'exemple de Badiou nous invite à comprendre que y,x et z ne sont pas du même genre : ainsi, z est le nom d'un homme, x celui d'une famille, et y le nom de l'état civil, autrement dit le nom du registre qui mentionnerait des noms de familles, des noms d'hommes et d'autres choses comme des dates de naissance, etc.

Ce qui est critiquable dans cette interprétation, c'est que a (un membre déclaré de la famille x) n'est pas élément de la famille x au même sens qu'il est élément du registre y, sauf à supposer que x est non pas le nom d'une famille, mais le nom d'un livret de famille. En ce dernier sens seulement, a est élément de x comme il est élément de z, c'est-à-dire qu'il est un nom figurant dans une liste. Mais est-ce bien là ce qu'a voulu dire Badiou?

En effet, lorsque vous dites que « ce dernier [z] est "présenté " dans la famille», ne vouliez-vous pas dire qu'il est simplement présent en tant qu'homme dans une famille, c'est à dire considéré comme membre de la famille et peut-être « présenté » comme tel à des proches, et non pas « présent » ou plutôt « re-présenté» dans le livret de famille ?

Si l'on tient à l'interprétation ensembliste, il me semble que nous devons avoir affaire à des objets de nature conciliable du point de vue de l'appartenance sur les 3 degrés d'objet (y,x et z), sous peine de ne pas satisfaire la clause de non-inclusion, qui permet de distinguer le singulier du non-singulier.

Peut-être Badiou a-t-il voulu dire autre chose ? Peut-être a-t-il cherché à distinguer des faits et des « images logiques » de faits (comme Wittgenstein a cherché à le faire me semble-t-il dans le Tractatus), ce qui collerait me semble-t-il mieux à son vocabulaire. Ainsi, c'est un fait qu'un certain individu soit membre d'une famille (il est présent), mais il n'est pas représenté dans l'image logique de ce fait (l'état civil). Bien que cette image soit elle-même un fait, qu'elle bénéficie donc de la présence, pour ne pas dire de l'existence, les choses que décrivent les éléments de l'image ne font pas partie de l'image et ne peuvent pas s'y substituer.

Il y a ici, sans doute, un parallèle à faire avec la distinction entre « usage » et « mention ». Ainsi, si Pierre, Marie, leur fils Paul et le clandestin Mohammed sont bien des éléments de la famille Dupont, c'est « Pierre », « Marie », « Paul » et « Dupont » qui sont éléments de l'état civil.

Si l'on cherche ainsi des exemples du type supposé non-Badiousien de singularité, c'est à dire purement ensembliste, on pourrait penser à un OGM non autorisé qui rentre dans la composition d'une mayonnaise autorisée, d'une page Web non répertoriée par google, faisant pourtant partie d'un site Web répertorié par google, etc.

Mais maintenant, si l'on cherche des exemples de type supposé Badiousien de singularité, on peut penser à toute photographie jamais prise elle-même en photo à côté d'un album en contenant une copie, ou à un individu désigné comme appartenant à une communauté, mais qui n'est pas lui-même (ou ne se considère pas lui-même) représenté par le « représentant » de cette communauté, peut-être même au sens d'une phrase de ce texte... (il me semble que Deleuze traite de ce thème dans « la logique du sens »)

En ce qui concerne votre exemple portant la notion de « particulier », je n'ai rien n'a y redire, sinon qu'elle me semble « souffrir » du même défaut que l'exemple de Badiou, ou des mêmes avantages. Car d'un point de vue ensembliste, je dirais qu'un triangle est plus particulier qu'un autre s'il est par exemple équilatéral alors que l'autre est isocèle. Mais ici, la structure est différente, car les triangles équilatéraux sont un sous-ensemble des triangles isocèles qui sont eux-mêmes un sous-ensemble des triangles dont ils sont tous éléments.

Je pense que j'en ai pour l'instant assez dit et n'ose pas avancer plus loin par crainte d'avoir construit ma réflexion sur un socle trop peu solide, que votre oeil ingéni(euri)eux et moins fatigué aura décelé dès le début.

Merci pour cette passionnante réflexion.

Écrit par : Niklaus Vonderflu | 24/06/2008

Je me rends compte aujourd'hui que j'ai commis une grave erreur dès le début de mon interprétation de votre exemple, en confondant l'élément et l'élément de l'élément, c'est-à-dire en donnant à ce dernier le statut de singularité et non pas au premier comme je l'avais pourtant bien saisi.

Mais comment comprendre l'exemple de Badiou en rapport avec votre définition si l'on cherche à distinguer la famille de l'Etat civil, alors que le clandestin devrait selon votre définition de la singularité être élément, mais non inclus dans un certain ensemble et non pas élément de l'un et non inclus dans un autre ?

Vous ne pouvez point supposer que la famille et son livret (que je suppose contenir les éléments de l'état civil de ses membres) sont une et même chose... Il existe certes habituellement une bijection entre certaines propriétés des éléments de la famille (nom, date de naissance, sexe, etc.) et les éléments du livret de famille. Mais ce schéma ne colle pas, me semble-t-il, à ce que vous entendiez par singularité.

Si les termes « présenté» et « représenté» qu'utilise Badiou correspondent bien à « l'élément » et « l'inclusion », alors pour sauver au moins « élément » et « inclusion » (renonçant à l'unicité de y), il faudrait comprendre, que les propriétés du clandestin (nom sexe, etc.), considérées comme ses éléments (ce qui devrait encore être discuté*) ne sont pas éléments du livret de famille, de sorte que le clandestin en tant qu'ensemble d'éléments ne soit pas inclus dans le livret de famille.

Mon interprétation était pourtant fidèle au moins en un sens à votre définition, en ce qu'elle essayait de sauvegarder l'unicité de y. En ce sens là, et en la corrigeant, on pourrait dire que cette famille dont un membre est clandestin est bien singulière, de même pour la mayonnaise (et non l'OGM), le site Web (et non la page), l'album photo (et non la photo contenue dans l'album), la communauté (et non l'individu), la phrase (et non son sens). Le reste de mes remarques concernant la polysémie du mot « élément » restant à mon sens valable.

* Si l'on voulait maintenant revenir à l'idée selon laquelle les propriétés d'un individu devraient être considérées comme ses éléments, comme je l'ai supposé pour comprendre l'exemple de Badiou, alors on se heurterait naturellement encore à l'objection de la polysémie du mot « élément », puisqu'en un sens ce sont des propriétés qui sont élément du clandestin, alors que ce sont des mots ou propositions qui sont éléments du livret de famille, même s'il existe une bijection possible entre ces éléments (ce qui ne suffit évidemment pas à dire qu'ils sont modèles des mêmes théories).

Une critique plus sévère reviendrait toutefois à montrer qu'il est étrange de considérer les propriétés d'un ensemble comme étant ses éléments, car c'est habituellement l'inverse qui se produit, à savoir qu'un individu comme ce clandestin est lui-même un élément de l'ensemble défini (en extension ou en intension) par une propriété . Par exemple la propriété d'être bipède définit un ensemble dont tous les bipèdes sont éléments, dont le clandestin. Suivant cette logique on aurait bipède = {le clandestin , moi, vous, la poule, etc.} en même temps qu'on aurait le clandestin = {bipède; 1m75; yeux noirs etc...} ; on se retrouverait donc avec x élement de y et y élément de x. Je suis naturellement ouvert à toute interprétation ambitieuse d'un pareil fait, mais n'en saisit pas encore l'intuition.

Désolé donc d'avoir manqué (en partie) mon but dans mon premier commentaire, espérant du même coup ne pas vous avoir trop agacé, ni vous avoir obligé à trouver du temps pour y répondre, par pure politesse.

Je vous remercie toutefois encore pour ce thème que je trouve ma foi très amusant et intrigant.

Écrit par : Niklaus Vonderflu | 26/06/2008

Cher Niklaus, je vous remercie de vos commentaires.

Je pense que pour bien saisir cette interprétation, il convient de ne pas méconnaître que le clandestin est bel et bien élément de cette famille, ainsi singulière, mais que selon l'état-civil, toutefois, il n'en fait pas partie. Finalement, c'est pour l'état-civil que la famille et son livret, si l'on veut, se confondent.

La famille est singulière, i.e. présente une singularité ; tous ses éléments ne sont pas éléments de l'état-civil, mais seulement certains. Elle n'y est donc pas incluse, i.e. adéquatement représentée, bien qu'elle ait un livret.

Mais nul besoin d'affirmer que les propriétés sont des éléments. En effet, les propriétés de chaque membre notées par l'état-civil (prénom, sexe, etc.) n'y sont pas dites éléments de ce membre, i.e. ne le définissent pas en extension. Cependant, ni le clandestin, ni ses propriétés, ni encore moins ses éléments, n'apparaissent dans le livret de famille.

Bref, pour rester kafkaïen et être plus général, disons qu'avec l'inclusion l'on s'occupe de {Monsieur X}, de Monsieur X en tant qu'il est, par exemple, mâle français contribuable d'un certain âge doté d'un nom propre, mais pas de Monsieur X en ses passions secrètes et nuances infinies. Néanmoins, il s'agit sans conteste du même Monsieur X.

Écrit par : Anaximandrake | 26/06/2008

Un dernier mot peut-être que vous n'êtes pas obligé de publier si vous n'y trouvez point d'intérêt...

Pour ne point faire s'écrouler l'exemple et la définition de la singularité à laquelle vous tenez, il s'agit donc de bien fixer le vocable :

Ayant toujours à l'esprit que si y={x,a,b} et x={z,a,b}, nous dirons que x est une singularité de y

Dans l'exemple du clandestin (sans utiliser le vocabulaire de Badiou) nous devrons donc dire que c'est le livret de famille qui est une singularité de l'état civil (que je continue à prendre pour un registre ne listant au moins des prénoms de personnes et des noms de livrets de famille).

Nous pourrons à la limite dire que le livet de famille est singulier (par rapport à y), mais il ne me semble pas que l'on puisse dire comme vous l'avez fait dans votre dernier commentaire que « la famille présente une singularité », sinon pour dire que cette famille (plutôt son livret) est une singularité (par rapport à l'Etat civil). Car si soudain c'était le clandestin la singularité « présentée » par la famille (i.e son livret), nous devrions lui chercher des éléments, ce que vous et moi n'arrivons pas encore envisager clairement.

De plus, afin que tout ceci se tienne, il faut encore admettre que contrairement à ce que vous avez dit, le clandestin apparaisse dans le livret de famille.

Enfin et avant d'aller plus loin, il faut me semble-t-il faire encore une dernière remarque « cruciale », pour saisir la portée ou la limite du formalisme ensembliste : j'ai cherché jusqu'à présent à ramener la situation proposée par Badiou au plus proche du langage ensembliste en insistant sur le fait (commentaire du 24.06.08) que pour que le clandestin soit élément du livret de famille au même sens qu'il est élément de l'Etat civil, il faut qu’ 'il soit dans les deux cas un nom dans un registre. Mais ce faisant je n'ai pas déterminé clairement ce qu'étaient les ensembles en question, car si c'est bien le nom du clandestin qui figure ou non dans un registre (Livret de famille ou Etat, civil), c'est par contre d'abord le livret de famille lui-même qui est un ensemble (lorsqu'on dit que le nom du clandestin est élément du livret de famille) et ensuite uniquement son nom (lorsqu'on dit que le nom du livret de famille figure dans le registre de l'état civil). Cherchant ainsi à tenir fermement, dans cet exemple, le sens de la relation "x est élément de y", le sens (plus précisément la « dénotation », dirait Frege) du mot « ensemble » nous échappe, car double ; ce qui pourrait au mieux nous donner un critère supplémentaire pour définir une singularité.

Il n'y a à mon sens qu'une seule façon de sauver (en la tirant par les cheveux) la projection ensembliste classique pour cet exemple, c'est de supposer que les ensembles ayant pour élément des objets concrets sont des ensembles de points d'espace-temps ou des ensembles d'ensembles de points d'espace temps. Ainsi, le clandestin en chair et en os serait un ensemble de points d'espace-temps défini en intension (cela pourrait être par exemple l'ensemble des points contenus dans la forme du corps supposée unique du clandestin). Cet ensemble serait élément d'un autre ensemble, l'ensemble famille que l'on devrait définir ainsi : l'ensemble dont les éléments sont les membres de la famille. Ce dernier ensemble étant élément d'un ensemble plus vase que serait l'Etat civil que l'on pourrait définir comme la réunion des ensembles de type famille à laquelle on ajouterait les ensembles de type famille eux-même. Mais il est évident que ce faisant nous ne désignons pas l'Etat civil tel que nous avons l'habitude de nous le représenter, car parlant d'une famille nous sommes assez enclin a désigner un objet abstrait, mais pour l'Etat civil, nous ne pensons pas à un ensemble, mais bien à un registre.

Bref, ça ne marche pas (bien).

Il nous faut donc nous rabattre, pour des ensembles contenant ou étant contenus dans des objets concrets, sur une définition de la singularitité faisant intervenir des ensembles dénotant des objets aussi différents qu'une chose et son nom ; et peut-être même des sens différents de la relation "x est élément de y".

Ainsi si nous cherchons à être le plus Badiousien (à mon sens) possible, nous aurions un clandestin élement(1) d'une famille, élément(2) elle-même d'un Registre d'Etat civil, n'ayant pas pour élément(2) le clandestin.

(1) individu élément d'un objet abstrait
(2) nom d'une chose élément d'un liste

(1) colle bien me semble-t-il à l'idée de présentation (quelque chose est présent ou non dans quelque chose)
(2) colle bien me semble-t-il à l'idée de représentation (quelque chose de présent ou non est représenté ou non par quelque chose dans quelque chose)

Les exemples (appelés par moi « Badiousien ») que j'avais donnés dans le commentaire pré-cité, me paraissent à ce titre être proche de ce que je souhaiterais être appelé singulier.

Mais qu'est-ce qui fait que la théorie des ensembles ne s'embarrasse pas de toutes ses distinctions et polysémies ? Est-ce parce qu'elle ne traite dans le fond que d'ensembles et non d'individus ? En effet, elle montre que si il y a des ensembles, alors l'ensemble vide est inclu dans chacun d'eux. Elle permet donc immédiatement de fabriquer (ou d'identifier) un premier ensemble dont le seul élément et l'ensemble vide. Puis se faisant elle construit un ordre : vide , {vide} , {vide;{vide}} , {vide;{vide};{vide;{vide}}} , une succession construite sur l'idée que le prochain doit avoir le précédent comme élément et en même temps l'inclure. (n'est-ce point une chose singulière :) ?) Enfin on pose (axiome de l'infini) qu'il existe un ensemble infini (en un sens très précis et pas immédiatement intuitif ; ce serait trop facile) qui va permettre par la suite de faire jouer à ces ensembles le rôle d'entiers . Autrement dit et pour faire court, il semble que la théorie des ensembles se porte pour le mieux quand elle a le vide l'ordre et l'infini.

Que contient donc le monde d'assez étrange pour ne pas se laisser plier à cette architecture céleste ?

Écrit par : Niklaus Vonderflu | 27/06/2008

Je ne crois pas qu'il faille mélanger la définition et l'exemple. L'une relève de la théorie des ensembles, et plus précisément de la qualification de "singularité" attribuée à un certain cas ; l'autre n'est pas un modèle de cette théorie mais une illustration, une interprétation au sens courant, bref une tentative de mise en lumière par l'image à laquelle vous teniez. Rejeter l'exemple ne peut en aucun cas sauver ou mettre en péril la définition même de singularité. Bien sûr, libre à vous de laisser innommé ce qui est distingué par la théorie des ensembles.

Toutefois, ce qui appartient sans être inclus est pourtant quelque chose de très facilement concevable. Soient x={a,b} et y={{a,b},b}. Sans conteste, x appartient à y. Toutefois, tous les éléments de x ne sont pas éléments de y, et donc x n'est pas inclus dans y. On pourrait discuter indéfiniment du terme "singularité", mais je n'en vois pas de meilleur pour ce cas, et encore moins un cas pour lequel ce terme serait plus adéquat. Et apparemment, vous non plus.

Mais, une fois encore, polissons cet exemple, qui n'est pas un modèle de la théorie, mais, comme je vous le disais dès le début de notre échange, une illustration. La famille en question est dite être une singularité par rapport à un ensemble ; elle est singulière en ceci qu'elle présente un clandestin. On peut bien entendu réserver, si l'on veut, le terme de singularité à la famille, et nommer autrement ce par quoi elle est singularité, sa singularité, i.e. ce qui donc la rend singulière : le clandestin (quels que soient ses éléments). La distinction, malgré la polysémie, est si évidente que je ne croyais pas nécessaire de m'appesantir là-dessus, la définition ensembliste étant de toute façon sans ambiguïté aucune. Disons alors par exemple singularité et vecteur de singularité.

Bref, on prend un ensemble nommé famille. Elle est composée d'éléments : Martin (sans papiers), Robert, Jean et Marie. On prends maintenant un ensemble W (nommez-le à votre guise) qui possède comme éléments {Martin, Robert, Jean, Marie}, Robert, Marie, et Jean. Martin n'est assurément pas élément de l'ensemble W. La famille appartient bien à cet ensemble W, mais elle n'y est pas incluse, puisque tous les éléments de la famille (et nommément Martin), ne sont pas éléments de cet ensemble W. Cette famille est une singularité pour W, et ce qui fait qu'elle est une singularité, c'est Martin, qui appartient à la famille sans appartenir à W. On peut disserter sur les éléments de chacun des éléments, il n'empêche que la famille est une singularité par rapport à W et qui, preuve est faite, existe bel et bien.

Que les éléments soient des individus ou non n'y change rien, tout comme la nature de leurs éléments. Si pour faire partie de la famille au sens de l'état-civil, il faut être élément de W, que Martin appartienne à la famille au sens de la présentation n'empêche pas qu'il n'en fasse pas partie au sens de la représentation, qu'il soit composé exclusivement de kryptonite ou non. Car que l'on lise Martin dans l'écriture de W n'implique pas qu'il appartienne à W ou en fasse partie. Il n'est en effet ni un élément, ni une partie de W. Si l'on décide de dire que W est le livret, l'élément {Martin, Robert, Marie, Jean} est ce qui s'écrit "famille" dans livret de famille (ou même est le nom de famille de Martin, Robert, Marie et Jean), sans mention aucune de Martin, Robert, Marie, ou Jean. Ensuite, il est vrai, l'élément Robert s'y trouve, tout comme Jean et Marie. Mais nulle part Martin. La famille appartient à W, mais n'y est pas incluse, car Martin n'est pas élément de W. De plus, ce sont bien les Robert, Marie et Jean réels qui sont comptés par W, même si c'est seulement leur nom (... leur prénom...) qui s'y trouvent. Car ce n'est jamais que le nom de l'entité qui s'écrit en langage ensembliste, comme dans tout langage (Voir épidode III). Enfin, je vous dirai approximativement (l'image...) que l'ensemble W est "aveugle" à ce qui est à l'intérieur des crochets, à moins que ce qui s'y trouve ne soit déjà dans W sans crochets. Je répéte qu'il s'agit d'un exemple qui ne peut qu'illustrer et non pas valider ou infirmer la définition de la singularité ensembliste. Car, faut-il le rappeler, un ensemble est un ensemble. Et si l'on définit a priori une entité comme n'étant pas un ensemble, ou ne prenant pas place dans un modèle de cette théorie, dire ensuite que l'interprétation est déficiente est un truisme.

Plus généralement, ce qu'il ne faut pas manquer ici, c'est que pointer ce type de terme singulier a justement pour intérêt de faire pressentir que la suite des ordinaux (construits à partir du vide) n'est pas le dernier mot de la théorie des ensembles (nous en viendrons à l'axiome de l'infini, mais nous passerons d'abord par celui de fondation). On le voit, il n'existe pas que ce genre de termes "normaux" qui à la fois appartiennent et sont inclus et, comme je le disais dans la première note, forment la hiérarchie naturelle. Que la théorie des ensembles se porterait mieux s'il n'existait que de tels termes est une assertion métaphysique, à mon avis exorbitante. Bref, il n'empêche que ce qui appartient sans être inclus est licite en théorie des ensembles, et que la théorie des ensembles distingue ce cas compte tenu de la différence appartenance/inclusion. Nommer ce cas de figure l'est tout autant. Et, à cet effet, le meilleur terme est, jusqu'à preuve du contraire, celui de "singularité", qui s'emploie en mathématique en un sens analogue.

Notons également que si vous affirmez qu'un individu n'est pas un ensemble, il est donc encore moins un ordinal, et s'échappe alors sans peine de cette architecture, céleste ou non. Pour conclure, disons une fois de plus qu'il est capital de ne pas confondre appartenance et inclusion (i.e. éléments et parties) qui sont deux 'comptes' différents, et qu'à bon droit, un ensemble qui appartient sans être inclus, peut être nommé singularité.

En tous cas, merci, cher Nicklaus, de vos commentaires.

Écrit par : Anaximandrake | 14/07/2008